Türev: Tanımı, Temel Kurallar ve Uygulamalar 🚀

Türev Kavramına Giriş

Türev, bir fonksiyonun belirli bir noktadaki anlık değişim oranını veya eğimini ifade eden temel bir kalkülüs kavramıdır. Geometrik olarak, bir fonksiyonun grafiğine belirli bir noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimini verir. Fiziksel olarak, hız veya ivme gibi anlık değişim oranlarını temsil eder. Türev, limit kavramı üzerine kuruludur.

Türevin Tanımı (Limit ile)

Bir f(x) fonksiyonunun x₀ noktasındaki türevi, eğer limit varsa,

f'(x₀) = lim_(h→0) [f(x₀ + h) - f(x₀)] / h

şeklinde tanımlanır. Alternatif olarak,

f'(x₀) = lim_(x→x₀) [f(x) - f(x₀)] / (x - x₀)

olarak da ifade edilebilir. Bir fonksiyonun bir noktada türevli olabilmesi için o noktada sürekli olması zorunludur. Ancak sürekli olmak, türevli olmak için yeterli değildir (örneğin, mutlak değer fonksiyonunun köşe noktaları).

Sağdan ve Soldan Türev

Bir fonksiyonun x₀ noktasında türevli olabilmesi için, o noktadaki sağdan ve soldan türevlerinin var ve birbirine eşit olması gerekir:

• Sağdan Türev: f'⁺(x₀) = lim_(h→0⁺) [f(x₀ + h) - f(x₀)] / h
• Soldan Türev: f'⁻(x₀) = lim_(h→0⁻) [f(x₀ + h) - f(x₀)] / h

Eğer f'⁺(x₀) = f'⁻(x₀) ise, fonksiyon x₀ noktasında türevlidir.

Temel Türev Alma Kuralları

• Sabit Fonksiyonun Türevi: d/dx (c) = 0 (c sabit)
• Kuvvet Fonksiyonunun Türevi: d/dx (xⁿ) = n ⋅ x^(n-1) (n bir reel sayı)
• Sabitle Çarpım Kuralı: d/dx [c ⋅ f(x)] = c ⋅ f'(x)
• Toplam/Fark Kuralı: d/dx [f(x) ± g(x)] = f'(x) ± g'(x)
• Çarpım Kuralı: d/dx [f(x) ⋅ g(x)] = f'(x) ⋅ g(x) + f(x) ⋅ g'(x)
• Bölüm Kuralı: d/dx [f(x) / g(x)] = [f'(x) ⋅ g(x) - f(x) ⋅ g'(x)] / [g(x)]² (g(x) ≠ 0)
• Zincir Kuralı (Bileşke Fonksiyonun Türevi): d/dx [f(g(x))] = f'(g(x)) ⋅ g'(x)

Trigonometrik Fonksiyonların Türevleri

• d/dx (sinx) = cosx
• d/dx (cosx) = -sinx
• d/dx (tanx) = sec²x = 1/cos²x
• d/dx (cotx) = -csc²x = -1/sin²x

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonların Türevleri

• d/dx (eˣ) = eˣ
• d/dx (aˣ) = aˣ ⋅ lna
• d/dx (lnx) = 1/x (x > 0)
• d/dx (logₐx) = 1 / (x ⋅ lna) (x > 0)

Türevin Uygulamaları

• Teğet ve Normal Denklemleri: Bir fonksiyonun x₀ noktasındaki teğet doğrusunun eğimi f'(x₀)'dir. Bu bilgi kullanılarak teğet ve normal (teğete dik doğru) denklemleri yazılabilir.
• Artanlık ve Azalanlık: Bir aralıkta f'(x) > 0 ise fonksiyon artan, f'(x) < 0 ise azalandır.
• Yerel Maksimum/Minimum (Ekstremum Noktaları): Bir fonksiyonun türevinin sıfır olduğu veya türevinin tanımsız olduğu noktalara kritik noktalar denir. Bu noktalarda fonksiyonun yerel maksimum veya minimum değerleri olabilir. İkinci türev testi de bu tür noktaları belirlemede kullanılır.
• Konkavlık ve Büküm Noktaları: İkinci türev f''(x), fonksiyonun konkavlığını (içe dönüklüğünü) belirler. f''(x) > 0 ise fonksiyon yukarı doğru konkav (dışbükey), f''(x) < 0 ise aşağı doğru konkav (içbükey) dir. Konkavlığın değiştiği noktalara büküm (dönüm) noktaları denir.
• Optimizasyon Problemleri: Türev, maliyet minimize etme, kar maksimize etme gibi gerçek hayat problemlerinde en uygun değerleri bulmak için kullanılır.