Limit ve Süreklilik: Temel Kavramlar ve Fonksiyon Davranışları 🛑

Limit Kavramına Giriş

Limit, bir fonksiyonun bir noktaya yaklaşırken aldığı değeri inceleyen temel bir matematiksel kavramdır. Bir f(x) fonksiyonunun x bir a değerine yaklaşırkenki limiti L ise, bu durum lim_(x→a) f(x) = L şeklinde ifade edilir. Bu, x'in a'ya yeterince yakın değerler alması durumunda f(x)'in L'ye yeterince yakın değerler alacağı anlamına gelir. Bir noktada limitin var olabilmesi için, o noktadaki sol ve sağ limitlerin var ve birbirine eşit olması gerekir.

Sağdan ve Soldan Limit

Sağdan Limit: x değerleri a'ya a'dan büyük değerlerle yaklaşırken f(x)'in aldığı limit değeri. lim_(x→a⁺) f(x) şeklinde gösterilir.
Soldan Limit: x değerleri a'ya a'dan küçük değerlerle yaklaşırken f(x)'in aldığı limit değeri. lim_(x→a⁻) f(x) şeklinde gösterilir.

Eğer lim_(x→a⁺) f(x) = lim_(x→a⁻) f(x) = L ise, lim_(x→a) f(x) = L vardır. Aksi halde limit yoktur.

Limit Özellikleri

lim_(x→a) f(x) = L ve lim_(x→a) g(x) = M olmak üzere:

lim_(x→a) [f(x) ± g(x)] = L ± M
lim_(x→a) [c ⋅ f(x)] = c ⋅ L (c bir sabit)
lim_(x→a) [f(x) ⋅ g(x)] = L ⋅ M
lim_(x→a) [f(x) / g(x)] = L / M (M ≠ 0 koşuluyla)
lim_(x→a) [f(x)]ⁿ = Lⁿ

Belirsizlik Durumları

Limit hesaplamalarında 0/0, ∞/∞, 0 ⋅ ∞, ∞ - ∞, 1^∞, 0^0, ∞^0 gibi belirsiz durumlara rastlanabilir. Bu durumlarda genellikle çarpanlara ayırma, sadeleştirme, eşlenikle çarpma, L'Hopital Kuralı (türev konusundan sonra) veya başka cebirsel manipülasyonlar kullanılarak belirsizlik giderilir.

Süreklilik Kavramı

Bir f(x) fonksiyonunun x = a noktasında sürekli olması için üç koşulun aynı anda sağlanması gerekir:

f(a) tanımlı olmalıdır (yani a, fonksiyonun tanım kümesinde olmalıdır).
lim_(x→a) f(x) limiti var olmalıdır.
lim_(x→a) f(x) = f(a) olmalıdır.

Bu üç koşuldan herhangi biri sağlanmazsa, fonksiyon o noktada süreksizdir. Bir fonksiyon bir aralıkta sürekli ise, bu aralıktaki her noktada süreklidir.

Süreksizlik Çeşitleri

Kaldırılabilir Süreksizlik (Noktasal Süreksizlik): Limit değeri var olduğu halde, fonksiyonun o noktadaki değeri ya tanımsızdır ya da limit değerinden farklıdır. Örneğin, f(x) = (x² - 1) / (x - 1) fonksiyonunun x = 1 noktasındaki süreksizliği kaldırılabilir.
Sıçrama Süreksizliği: Sol ve sağ limitler var ancak birbirine eşit değildir. Genellikle parçalı fonksiyonlarda görülür.
Sonsuz Süreksizlik: Fonksiyonun bir noktadaki limitinin ±∞ olması durumu. Genellikle rasyonel fonksiyonların paydasını sıfır yapan noktalarda görülür (düşey asimptotlar).

Sürekli Fonksiyonların Özellikleri

İki sürekli fonksiyonun toplamı, farkı, çarpımı ve bölümü (payda sıfır olmamak kaydıyla) süreklidir.
İki sürekli fonksiyonun bileşkesi süreklidir.
Polinom fonksiyonları her yerde süreklidir.
Rasyonel fonksiyonlar, paydanın sıfır olmadığı noktalarda süreklidir.
Trigonometrik fonksiyonlar (tanım kümelerinde) süreklidir.
Üstel ve logaritmik fonksiyonlar (tanım kümelerinde) süreklidir.

AYT Matematik