İntegral: Belirsiz ve Belirli İntegral, Riemann Toplamları 📐

Ters Türev (İlkel Fonksiyon) ve Belirsiz İntegral

Kalkülüsün ikinci temel kavramı olan integral, türevin tersi işlemidir. Bir F(x) fonksiyonunun türevi f(x) ise, yani F'(x) = f(x) ise, F(x)'e f(x)'in bir ters türevi veya ilkel fonksiyonu denir. Örneğin, f(x) = 2x'in ilkel fonksiyonları x², x² + 5, x² - 3 vb. olabilir. Bu ilkel fonksiyonların tamamını içeren ifadeye f(x)'in belirsiz integrali denir ve ∫f(x) dx = F(x) + C şeklinde gösterilir. Buradaki C, integral sabiti olarak adlandırılır ve tüm olası ilkel fonksiyonları temsil eder.

Temel İntegral Alma Kuralları

• Sabit Fonksiyonun İntegrali: ∫c dx = cx + C (c sabit)
• Kuvvet Fonksiyonunun İntegrali: ∫xⁿ dx = (x^(n+1)) / (n+1) + C (n ≠ -1)
• Özel Durum (n=-1): ∫(1/x) dx = lnlx| + C
• Sabitle Çarpım Kuralı: ∫c ⋅ f(x) dx = c ⋅ ∫f(x) dx
• Toplam/Fark Kuralı: ∫[f(x) ± g(x)] dx = ∫f(x) dx ± ∫g(x) dx

Bazı Önemli Fonksiyonların Belirsiz İntegralleri

• ∫eˣ dx = eˣ + C
• ∫aˣ dx = (aˣ / lna) + C
• ∫sinx dx = -cosx + C
• ∫cosx dx = sinx + C
• ∫sec²x dx = tanx + C
• ∫csc²x dx = -cotx + C

Belirli İntegral ve Riemann Toplamları

Belirli integral, bir fonksiyonun belirli bir aralıktaki grafiği ile x ekseni arasında kalan alanın cebirsel değerini temsil eder. Riemann toplamları, bu alanı yaklaşık olarak hesaplamak için kullanılan bir yöntemdir. Bir [a, b] aralığında f(x) fonksiyonunun altındaki alanı bulmak için, aralık küçük alt aralıklara bölünür ve her bir alt aralıkta bir dikdörtgenin alanı hesaplanarak toplanır. Alt aralıkların sayısı (n) sonsuza giderken, bu toplam belirli integrale yakınsar.

∫_a^b f(x) dx = lim_(n→∞) Σ_(i=1)^n f(xᵢ*) Δx

Burada Δx = (b - a) / n ve xᵢ*, i. alt aralıktan seçilen bir noktadır (sol uç nokta, sağ uç nokta veya orta nokta olabilir).

Kalkülüsün Temel Teoremi

Kalkülüsün Temel Teoremi, belirli integral ile belirsiz integral (ters türev) arasındaki ilişkiyi kurar ve integral hesaplamalarını çok daha pratik hale getirir. Teorem iki bölümden oluşur:

• Birinci Kısım: Eğer F(x) = ∫_a^x f(t) dt ise, o zaman F'(x) = f(x)'tir. Bu, türev ve integralin ters işlemler olduğunu gösterir.
• İkinci Kısım: Eğer F(x), f(x)'in herhangi bir ilkel fonksiyonu ise, o zaman ∫_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)'dır. Bu formül, belirli integrallerin analitik olarak hesaplanmasını sağlar.

Belirli İntegralin Özellikleri

• ∫_a^a f(x) dx = 0
• ∫_a^b f(x) dx = -∫_b^a f(x) dx
• ∫_a^b c ⋅ f(x) dx = c ⋅ ∫_a^b f(x) dx (c sabit)
• ∫_a^b [f(x) ± g(x)] dx = ∫_a^b f(x) dx ± ∫_a^b g(x) dx
• ∫_a^b f(x) dx = ∫_a^c f(x) dx + ∫_c^b f(x) dx (a < c < b ise)

Belirli İntegralin Uygulamaları

• Alan Hesaplamaları: Pozitif bir fonksiyonun grafiği ile x ekseni arasında kalan alanı veya iki fonksiyonun grafiği arasında kalan alanı bulmak için kullanılır.
• Hacim Hesaplamaları: Dönel cisimlerin hacimlerinin (disk yöntemi, kabuk yöntemi) hesaplanmasında kullanılır.
• Ortalama Değer: Bir fonksiyonun belirli bir aralıktaki ortalama değeri (1 / (b - a)) ⋅ ∫_a^b f(x) dx formülüyle hesaplanır.
• Fiziksel Uygulamalar: Yol, iş, kütle merkezi gibi fiziksel niceliklerin hesaplanmasında yaygın olarak kullanılır.