Fonksiyonlar: Tanım, Özellikler ve Grafik Dönüşümleri 🔢

Fonksiyon Kavramına Giriş

Matematikte fonksiyon, iki küme arasındaki özel bir ilişkiyi ifade eder. Bir A kümesinin her elemanını, bir B kümesinin yalnız bir elemanına eşleyen kurala A'dan B'ye bir fonksiyon denir ve genellikle f: A → B şeklinde gösterilir. Burada A tanım kümesi (domain), B ise değer kümesi (codomain) olarak adlandırılır. A'daki bir x elemanına karşılık gelen B'deki eleman f(x) ile gösterilir ve x'in f altındaki görüntüsü olarak bilinir. Tüm görüntülerin oluşturduğu kümeye ise görüntü kümesi (range) denir ve f(A) ile gösterilir.

Temel Fonksiyon Türleri ve Özellikleri

• Birebir (Injective) Fonksiyon: Tanım kümesindeki farklı elemanların görüntüleri de farklıysa, yani x₁ ≠ x₂ ⇒ f(x₁) ≠ f(x₂) ise fonksiyon birebirdir.
• Örten (Surjective) Fonksiyon: Görüntü kümesi ile değer kümesi eşitse, yani f(A) = B ise fonksiyon örtendir. Başka bir deyişle, değer kümesindeki her elemanın tanım kümesinde en az bir ön görüntüsü vardır.
• Birebir ve Örten (Bijective) Fonksiyon: Hem birebir hem de örten olan fonksiyonlardır. Bu tür fonksiyonların tersi (inverse) vardır.
• İçine Fonksiyon: Örten olmayan fonksiyonlara denir; yani değer kümesinde en az bir eleman boşta kalır, eşleşmez.
• Sabit Fonksiyon: Tanım kümesindeki her elemanı değer kümesindeki tek bir elemana eşleyen fonksiyondur, yani f(x) = c (c bir sabit).
• Birim (Özdeşlik) Fonksiyon: Tanım kümesindeki her elemanı kendisine eşleyen fonksiyondur, yani f(x) = x.

Fonksiyonlarda Dört İşlem

İki fonksiyon f: A → R ve g: B → R için, bu fonksiyonların ortak tanım kümesi A ∩ B olmak üzere:

• Toplama: (f + g)(x) = f(x) + g(x)
• Çıkarma: (f - g)(x) = f(x) - g(x)
• Çarpma: (f ⋅ g)(x) = f(x) ⋅ g(x)
• Bölme: (f / g)(x) = f(x) / g(x), (g(x) ≠ 0 koşuluyla)

Bileşke Fonksiyon

İki fonksiyonun art arda uygulanmasıyla elde edilen fonksiyondur. f: A → B ve g: B → C fonksiyonları için, f'in görüntülerinin g'nin tanım kümesinde olması koşuluyla, g bileşke f fonksiyonu (g o f): A → C, (g o f)(x) = g(f(x)) şeklinde tanımlanır. Bileşke işleminde değişme özelliği (komütatiflik) genellikle yoktur, yani f o g ≠ g o f.

Ters Fonksiyon

Bir f: A → B fonksiyonunun tersinin (f⁻¹: B → A) var olabilmesi için fonksiyonun birebir ve örten olması gerekir. Eğer f(x) = y ise, bu durumda f⁻¹(y) = x'tir. Bir fonksiyon ile tersinin bileşkesi birim fonksiyonu verir: (f o f⁻¹)(x) = x ve (f⁻¹ o f)(x) = x.

Grafik Dönüşümleri

Bir y = f(x) fonksiyonunun grafiği üzerinde yapılan temel dönüşümler şunlardır:

• Öteleme:
  • y = f(x) + c: Grafiği c > 0 ise y ekseninde c birim yukarı, c < 0 ise c birim aşağı öteler.
  • y = f(x - c): Grafiği c > 0 ise x ekseninde c birim sağa, c < 0 ise c birim sola öteler.
• Yansıma:
  • y = -f(x): Grafiği x eksenine göre yansıtır.
  • y = f(-x): Grafiği y eksenine göre yansıtır.
• Germe/Sıkıştırma (Genişletme/Daraltma):
  • y = c ⋅ f(x): |c| > 1 ise y ekseninde genleşir, 0 < |c| < 1 ise y ekseninde daralır.
  • y = f(c ⋅ x): |c| > 1 ise x ekseninde daralır, 0 < |c| < 1 ise x ekseninde genleşir.