Temel Kavramlar, Sayı Kümeleri ve Faktöriyel 🔢

Giriş: Sayı Kümeleri

Matematiğin temelini oluşturan sayılar, belirli özelliklerine göre farklı kümeler altında sınıflandırılır. Bu sınıflandırma, matematiksel işlemleri anlamamız ve doğru yorumlamamız için hayati öneme sahiptir.

Doğal Sayılar (ℕ)

Sayı sayma işlemlerinde kullanılan ve 0'ı da içeren sayılar kümesidir.
ℕ = {0, 1, 2, 3, ...}
Pozitif Doğal Sayılar (Sayma Sayıları): ℕ⁺ = {1, 2, 3, ...}

Tam Sayılar (ℤ)

Doğal sayılarla birlikte negatif tam sayıları da içeren kümedir.
ℤ = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
Pozitif Tam Sayılar: ℤ⁺ = {1, 2, 3, ...}
Negatif Tam Sayılar: ℤ^- = {-1, -2, -3, ...}

Rasyonel Sayılar (ℚ)

a bir tam sayı ve b sıfırdan farklı bir tam sayı olmak üzere, a/b şeklinde yazılabilen sayılar kümesidir.
ℚ = {a/b | a ∈ ℤ, b ∈ ℤ, b ≠ 0}
Her tam sayı aynı zamanda bir rasyonel sayıdır (örn: 3 = 3/1).
Sonlu ondalık sayılar ve devirli ondalık sayılar rasyoneldir.

İrrasyonel Sayılar (𝕀 veya ℚ')

Rasyonel olmayan, yani a/b şeklinde yazılamayan sayılar kümesidir.
Ondalık gösterimi devretmeyen ve sonsuz olan sayılardır.
Örnekler: π (Pi sayısı), √2, e (Euler sayısı).

Gerçel (Reel) Sayılar (ℝ)

Rasyonel sayılar kümesi ile irrasyonel sayılar kümesinin birleşimiyle oluşan en geniş sayı kümesidir.
Sayı doğrusu üzerindeki tüm noktalar bir gerçel sayıya karşılık gelir.
ℝ = ℚ ∪ 𝕀

Tek ve Çift Sayılar

Bir tam sayı 2 ile tam bölünüyorsa çift sayı, bölünmüyorsa tek sayıdır.

Çift Sayılar: ..., -4, -2, 0, 2, 4, ... (2k şeklinde yazılır, k ∈ ℤ)
Tek Sayılar: ..., -3, -1, 1, 3, 5, ... (2k+1 veya 2k-1 şeklinde yazılır, k ∈ ℤ)

İşlem Kuralları

Tek ± Tek = Çift
Tek ± Çift = Tek
Çift ± Çift = Çift
Tek × Tek = Tek
Tek × Çift = Çift
Çift × Çift = Çift
Bir çarpımda en az bir çarpan çift ise sonuç çifttir.
n ∈ ℕ⁺ olmak üzere: Tekⁿ = Tek, Çiftⁿ = Çift

Pozitif ve Negatif Sayılar

Sıfırdan büyük sayılara pozitif sayılar, sıfırdan küçük sayılara negatif sayılar denir. Sıfır ne pozitif ne de negatiftir.

İşaret Kuralları

Aynı işaretli iki sayının çarpımı veya bölümü pozitiftir (+ × + = +, - × - = +, + ÷ + = +, - ÷ - = +)
Zıt işaretli iki sayının çarpımı veya bölümü negatiftir (+ × - = -, - × + = -, + ÷ - = -, - ÷ + = -)
Toplama ve çıkarmada, büyük sayının işareti geçerlidir (örn: -5 + 2 = -3).
Bir sayının tek kuvvetleri sayının işaretiyle aynıdır, çift kuvvetleri her zaman pozitiftir (sıfır hariç). (örn: (-2)³ = -8, (-2)⁴ = 16)

Asal Sayılar ve Aralarında Asal Sayılar

Asal Sayılar

1'den büyük, 1 ve kendisinden başka hiçbir pozitif tam sayıya tam bölünemeyen sayılara asal sayı denir.
En küçük asal sayı 2'dir ve 2, tek çift asal sayıdır.
Örnekler: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ...

Aralarında Asal Sayılar

1'den başka ortak pozitif tam sayı böleni olmayan sayılara aralarında asal sayılar denir. Sayıların kendilerinin asal olması gerekmez.
Örnekler: (4, 9) çünkü ortak bölenleri sadece 1'dir. (8, 15).
Ardışık sayılar her zaman aralarında asaldır (örn: (7, 8)).
1 ile her sayı aralarında asaldır (örn: (1, 10)).

Faktöriyel Kavramı

Bir doğal sayının 1'e kadar olan tüm pozitif tam sayı çarpanlarının çarpımına o sayının faktöriyeli denir ve n! şeklinde gösterilir.

Tanım: n! = n × (n-1) × (n-2) × ... × 2 × 1
Özel Durumlar: 0! = 1, 1! = 1
Örnekler:
- 2! = 2 × 1 = 2
- 3! = 3 × 2 × 1 = 6
- 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24
- 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120

Faktöriyelde Sadeleştirme ve İşlemler

Faktöriyelli ifadelerde sadeleştirme yaparken, büyük faktöriyeli küçük faktöriyel cinsinden yazmak yaygın bir yöntemdir.

Örnek: n! = n × (n-1)!
Örnek: (n+2)! = (n+2) × (n+1) × n!

Örnek Sorular ve Çözümleri

Örnek Soru 1

a, b, c birer tam sayı olmak üzere,

a × b çarpımı tek sayıdır.
b + c toplamı çift sayıdır.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

a çift sayıdır.
c tek sayıdır.
a + c tek sayıdır.
a × c çift sayıdır.
b - c tek sayıdır.

Çözüm 1

İlk bilgi: a × b çarpımı tek sayıdır. İki sayının çarpımının tek olması için her ikisinin de tek sayı olması gerekir. O halde, a tek ve b tek sayıdır.
İkinci bilgi: b + c toplamı çift sayıdır. b'nin tek olduğunu biliyoruz. Tek + c = Çift. Bu durumda c'nin tek olması gerekir (Tek + Tek = Çift).
Özetle: a tek, b tek, c tek.

Şimdi şıklara bakalım:

a çift sayıdır. (Yanlış, a tektir.)
c tek sayıdır. (Doğru, c tektir.)
a + c tek sayıdır. (Tek + Tek = Çift. Yanlış.)
a × c çift sayıdır. (Tek × Tek = Tek. Yanlış.)
b - c tek sayıdır. (Tek - Tek = Çift. Yanlış.)

Doğru cevap c tek sayıdır.

Örnek Soru 2

(n+1)! + n! / (n+2)! işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?

Çözüm 2

İfadeleri en küçük faktöriyel olan n! cinsinden yazmaya çalışalım:

Pay kısmındaki (n+1)! ifadesini (n+1) × n! olarak yazabiliriz.
Payda kısmındaki (n+2)! ifadesini (n+2) × (n+1) × n! olarak yazabiliriz.

Şimdi ifadeyi yeniden düzenleyelim:

(n+1)! + n! / (n+2)! = [(n+1) × n! + n!] / [(n+2) × (n+1) × n!]

Pay kısmında n! ortak çarpanını alalım:

[n! × ((n+1) + 1)] / [(n+2) × (n+1) × n!]

Pay kısmını basitleştirelim:

[n! × (n+2)] / [(n+2) × (n+1) × n!]

Şimdi pay ve paydadaki ortak terimleri sadeleştirelim (n! ve (n+2)):

1 / (n+1)

Sonuç: 1 / (n+1)

TYT Temel Matematik