Bölünebilme Kuralları ve EBOB-EKOK 🧮

Bölünebilme Kuralları

Bir sayının başka bir sayıya kalansız olarak bölünüp bölünmediğini anlamamızı sağlayan pratik yöntemlerdir. Bu kurallar, sayısal mantık problemlerinde ve işlem yeteneğini geliştirmede kritik rol oynar.

• 2 İle Bölünebilme

  Birler basamağı çift sayı (0, 2, 4, 6, 8) olan sayılar 2 ile tam bölünür.

• 3 İle Bölünebilme

  Rakamları toplamı 3'ün katı olan sayılar 3 ile tam bölünür.

• 4 İle Bölünebilme

  Son iki basamağının oluşturduğu sayı 4'ün katı olan veya son iki basamağı '00' olan sayılar 4 ile tam bölünür.

• 5 İle Bölünebilme

  Birler basamağı 0 veya 5 olan sayılar 5 ile tam bölünür.

• 6 İle Bölünebilme

  Hem 2 hem de 3 ile tam bölünebilen sayılar 6 ile tam bölünür.

• 8 İle Bölünebilme

  Son üç basamağının oluşturduğu sayı 8'in katı olan veya son üç basamağı '000' olan sayılar 8 ile tam bölünür.

• 9 İle Bölünebilme

  Rakamları toplamı 9'un katı olan sayılar 9 ile tam bölünür.

• 10 İle Bölünebilme

  Birler basamağı 0 olan sayılar 10 ile tam bölünür.

• 11 İle Bölünebilme

  Sayının rakamları sağdan sola doğru sırasıyla +, -, +, -, ... işaretleri ile gruplandırılarak toplanır. Elde edilen sonuç 11'in katı ise (0 da dahil) o sayı 11 ile tam bölünür.

• Diğer Bölünebilme Kuralları

  Bir sayının A × B ile bölünebilmesi için, A ve B aralarında asal olmak üzere, sayı hem A'ya hem de B'ye tam bölünmelidir (örn: 12 ile bölünebilme için hem 3 hem 4 ile bölünebilmelidir).

EBOB (En Büyük Ortak Bölen)

İki veya daha fazla sayıyı aynı anda bölen en büyük pozitif tam sayıya bu sayıların En Büyük Ortak Böleni (EBOB) denir. Ortak bölenlerin en büyüğüdür.

EBOB Bulma Yöntemi

Sayılar asal çarpanlarına ayrılır. Ortak olan asal çarpanlardan, üssü en küçük olanlar alınarak çarpılır.

• Örnek: EBOB(24, 36)
  • 24 = 23 × 31
  • 36 = 22 × 32
  • Ortak asal çarpanlar 2 ve 3'tür. 2'nin en küçük üssü 2 (22), 3'ün en küçük üssü 1 (31).
  • EBOB(24, 36) = 22 × 31 = 4 × 3 = 12

EBOB Özellikleri

• Aralarında asal iki sayının EBOB'u 1'dir.
• Birbirinin tam katı olan iki sayıdan küçük olan sayı EBOB'tur (örn: EBOB(6, 18) = 6).
• EBOB genellikle parçalama, ayırma, eşit parçalara bölme gibi problemlerde kullanılır.

EKOK (En Küçük Ortak Kat)

İki veya daha fazla sayının ortak katları arasında en küçük pozitif tam sayıya bu sayıların En Küçük Ortak Katı (EKOK) denir.

EKOK Bulma Yöntemi

Sayılar asal çarpanlarına ayrılır. Ortak olan asal çarpanlardan üssü en büyük olanlar ile ortak olmayan asal çarpanların hepsi alınarak çarpılır.

• Örnek: EKOK(24, 36)
  • 24 = 23 × 31
  • 36 = 22 × 32
  • Ortak asal çarpanlar 2 ve 3'tür. 2'nin en büyük üssü 3 (23), 3'ün en büyük üssü 2 (32).
  • EKOK(24, 36) = 23 × 32 = 8 × 9 = 72

EKOK Özellikleri

• Aralarında asal iki sayının EKOK'u bu iki sayının çarpımıdır.
• Birbirinin tam katı olan iki sayıdan büyük olan sayı EKOK'tur (örn: EKOK(6, 18) = 18).
• EKOK genellikle birleştirme, bir araya getirme, nöbet tutma, periyodik olaylar gibi problemlerde kullanılır.

EBOB ve EKOK Arasındaki İlişki

Herhangi iki pozitif tam sayı a ve b için:

a × b = EBOB(a, b) × EKOK(a, b)

Bu formül, iki sayının EBOB ve EKOK'u arasında önemli bir ilişki kurar.

Örnek Sorular ve Çözümleri

Örnek Soru 1

Dört basamaklı 5A2B sayısının 15 ile tam bölünebilmesi için A'nın alabileceği değerler toplamı kaçtır?

Çözüm 1

Bir sayının 15 ile tam bölünebilmesi için hem 3 hem de 5 ile tam bölünmesi gerekir (çünkü 3 ve 5 aralarında asaldır ve 3 × 5 = 15).

• 5 ile bölünebilme kuralı: Birler basamağı (B) 0 veya 5 olmalıdır.
• 3 ile bölünebilme kuralı: Rakamları toplamı 3'ün katı olmalıdır. (5 + A + 2 + B = 7 + A + B toplamı 3'ün katı olmalı)

Durum 1: B = 0 ise

Rakamlar toplamı: 7 + A + 0 = 7 + A

7 + A'nın 3'ün katı olması için A'nın alabileceği değerler (A bir rakam olmalı, 0-9 arası):

• 7 + A = 9 => A = 2
• 7 + A = 12 => A = 5
• 7 + A = 15 => A = 8

Bu durumda A değerleri: {2, 5, 8}

Durum 2: B = 5 ise

Rakamlar toplamı: 7 + A + 5 = 12 + A

12 + A'nın 3'ün katı olması için A'nın alabileceği değerler:

• 12 + A = 12 => A = 0
• 12 + A = 15 => A = 3
• 12 + A = 18 => A = 6
• 12 + A = 21 => A = 9

Bu durumda A değerleri: {0, 3, 6, 9}

A'nın alabileceği tüm değerler: {0, 2, 3, 5, 6, 8, 9}

A'nın alabileceği değerler toplamı: 0 + 2 + 3 + 5 + 6 + 8 + 9 = 33

Örnek Soru 2

Boyutları 48 cm ve 60 cm olan dikdörtgen şeklindeki bir tarlanın etrafına ve köşelerine de gelmek şartıyla, eşit aralıklarla ağaç dikilecektir. En az kaç ağaç gereklidir?

Çözüm 2

Eşit aralıklarla ağaç dikmek demek, hem 48 cm'yi hem de 60 cm'yi bölebilen en büyük uzunluğu bulmak demektir. Bu da EBOB anlamına gelir.

EBOB(48, 60) değerini bulalım:

• Asal çarpanlarına ayıralım:
  • 48 = 24 × 31
  • 60 = 22 × 31 × 51
• Ortak asal çarpanlardan üssü en küçük olanları alalım:
  • 2'nin en küçük üssü 22
  • 3'ün en küçük üssü 31
• EBOB(48, 60) = 22 × 31 = 4 × 3 = 12 cm.

Demek ki ağaçlar arası mesafe 12 cm olmalıdır.

Tarlanın çevresi: 2 × (uzunluk + genişlik) = 2 × (48 + 60) = 2 × 108 = 216 cm.

Toplam ağaç sayısı = Çevre / Ağaçlar arası mesafe

Ağaç sayısı = 216 / 12 = 18 adet.