Rasyonel Sayılar ve Ondalık Gösterimler ➗

Rasyonel Sayı Kavramı

Rasyonel sayılar, a bir tam sayı ve b sıfırdan farklı bir tam sayı olmak üzere, a/b şeklinde yazılabilen sayılardır. Bu tanım gereği tüm tam sayılar da (örn. 5 = 5/1) birer rasyonel sayıdır.

• Gösterim: ℚ = {a/b | a ∈ ℤ, b ∈ ℤ, b ≠ 0}
• Sadeleştirme: Bir rasyonel sayıda pay ve payda ortak bir sayıya bölünerek kesir basitleştirilebilir (örn: 6/9 = 2/3).
• Genişletme: Bir rasyonel sayıda pay ve payda aynı sayıyla çarpılarak kesrin değeri değişmeden farklı bir gösterimi elde edilebilir (örn: 2/3 = 4/6). Bu işlem genellikle payda eşitlemede kullanılır.

Rasyonel Sayılarda Dört İşlem

Toplama ve Çıkarma

Rasyonel sayılarda toplama veya çıkarma yapabilmek için paydaların eşit olması gerekir. Paydalar eşitlendikten sonra, paylar toplanır veya çıkarılır, payda ise aynen yazılır.

a/b + c/d = (a × d + c × b) / (b × d)

a/b - c/d = (a × d - c × b) / (b × d)

Çarpma

Rasyonel sayılar çarpılırken paylar kendi aralarında, paydalar kendi aralarında çarpılır.

a/b × c/d = (a × c) / (b × d)

Bölme

Rasyonel sayılarda bölme işlemi yapılırken, birinci kesir sabit tutulur, ikinci kesir ters çevrilerek çarpılır.

(a/b) ÷ (c/d) = a/b × d/c = (a × d) / (b × c)

Ondalık Sayılar ve Ondalık Gösterim

Bir rasyonel sayının payının paydaya bölünmesiyle elde edilen virgülden sonraki basamakları olan sayılara ondalık sayı denir. Paydası 10'un kuvveti (10, 100, 1000, vb.) şeklinde yazılabilen kesirlerdir.

• Örnek: 3/4 = 0.75, 1/2 = 0.5, 13/100 = 0.13

Ondalık Sayılarda Dört İşlem

• Toplama ve Çıkarma: Virgüller alt alta gelecek şekilde yazılır ve normal toplama/çıkarma işlemi yapılır. Gerekirse sayının sonuna sıfırlar eklenebilir.
• Çarpma: Virgüller yokmuş gibi çarpma işlemi yapılır. Elde edilen çarpımda, çarpanların virgülden sonraki basamak sayılarının toplamı kadar sağdan sola doğru virgül kaydırılır.
• Bölme: Bölme işlemine başlamadan önce bölen sayıyı tam sayı yapmak için her iki sayıda da virgül aynı oranda sağa kaydırılır. Sonra normal bölme işlemi yapılır.

Devirli Ondalık Sayılar

Bir rasyonel sayının ondalık gösteriminde, virgülden sonraki rakamların belirli bir düzen içinde sürekli tekrar etmesine devirli ondalık gösterim denir. Tekrar eden kısma 'devreden kısım' denir ve üzerine çizgi çekilerek gösterilir.

• Örnek: 1/3 = 0.333... = 0.3̅, 7/11 = 0.6363... = 0.63̅

Devirli Ondalık Sayıyı Rasyonel Sayıya Çevirme

Bir devirli ondalık sayıyı rasyonel sayıya çevirmek için aşağıdaki formül kullanılır:

(Tüm sayı - Devretmeyen kısım) / (Devreden basamak sayısı kadar 9, devretmeyen basamak sayısı kadar 0)

• Örnek: 0.3̅ = (3 - 0) / 9 = 3/9 = 1/3
• Örnek: 1.25̅ = (125 - 12) / 90 = 113/90
• Örnek: 0.123̅ = (123 - 12) / 900 = 111/900 = 37/300

Örnek Sorular ve Çözümleri

Örnek Soru 1

[ (1/2 + 1/3) ÷ (5/6 - 1/4) ] × 2/5 işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm 1

Önce parantez içindeki işlemleri yapalım:

• 1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6
• 5/6 - 1/4 = 10/12 - 3/12 = 7/12

Şimdi parantez içindeki bölme işlemini yapalım:

• (5/6) ÷ (7/12) = 5/6 × 12/7
• Sadeleştirmeleri yapalım: 6 ile 12 sadeleşir, 1 ve 2 kalır.
• 5/1 × 2/7 = 10/7

Son olarak, elde edilen sonucu 2/5 ile çarpalım:

• (10/7) × (2/5)
• Sadeleştirmeleri yapalım: 10 ile 5 sadeleşir, 2 ve 1 kalır.
• (2/7) × (2/1) = 4/7

Sonuç: 4/7

Örnek Soru 2

A = 2.4̅ ve B = 0.16̅ olduğuna göre, A + B toplamı kaçtır?

Çözüm 2

Önce devirli ondalık sayıları rasyonel sayıya çevirelim:

• A = 2.4̅ = (24 - 2) / 9 = 22/9
• B = 0.16̅ = (16 - 1) / 90 = 15/90
• 15/90 kesrini sadeleştirelim (her iki tarafı 15'e bölelim): 1/6

Şimdi A + B toplamını bulalım:

• A + B = 22/9 + 1/6

Paydaları eşitleyelim (EKOK(9, 6) = 18):

• 22/9 kesrini 2 ile genişletelim: (22 × 2) / (9 × 2) = 44/18
• 1/6 kesrini 3 ile genişletelim: (1 × 3) / (6 × 3) = 3/18

Toplama işlemini yapalım:

• 44/18 + 3/18 = (44 + 3) / 18 = 47/18

Sonuç: 47/18