Vektörler: Fiziksel Büyüklüklerin Dili 📐

Giriş: Fiziksel Büyüklükler

Fiziksel nicelikler, doğadaki olayları tanımlamak ve ölçmek için kullandığımız temel kavramlardır. Bu nicelikler genellikle iki ana kategoriye ayrılır:

• Skaler Büyüklükler: Sadece bir büyüklük (sayısal değer) ve bir birim ile tam olarak tanımlanabilen niceliklerdir. Yönleri yoktur. Örneğin; kütle, sıcaklık, zaman, enerji, hacim, özkütle.
• Vektörel Büyüklükler: Büyüklük (şiddet), birim, doğrultu ve yön ile tam olarak tanımlanabilen niceliklerdir. Yönleri, fiziksel etkiyi belirlemede kritik öneme sahiptir. Örneğin; kuvvet, hız, ivme, konum, momentum, tork.

Vektör Tanımı ve Gösterimi

Bir vektör, başlangıç noktası, doğrultu, yön ve büyüklük (şiddet) ile karakterize edilen yönlendirilmiş bir doğru parçasıdır. Matematiksel olarak genellikle harfin üzerine ok (örn., →A) veya kalın harf (örn., A) konularak gösterilir. Büyüklüğü ise mutlak değer içinde (örn., |→A| veya A) ifade edilir.

Vektörlerin Özellikleri

• Doğrultu: Vektörün üzerinde bulunduğu hayali çizgidir. Bir vektörün yönü değişse bile doğrultusu aynı kalabilir (örn., doğu-batı doğrultusu).
• Yön: Vektörün üzerinde bulunduğu doğrultu üzerindeki seçilmiş taraftır (örn., doğu, batı, kuzeydoğu).
• Büyüklük (Şiddet): Vektörün sayısal değeridir ve birimleriyle ifade edilir (örn., 5 N, 10 m/s). Bir vektörün uzunluğu ile doğru orantılıdır.
• Başlangıç Noktası (Uygulama Noktası): Vektörün fiziksel olarak uygulandığı noktadır. Ancak vektörler genellikle uzayda serbestçe taşınabilir kabul edilirler.

Eşit ve Zıt Vektörler

• Eşit Vektörler: Büyüklükleri, doğrultuları ve yönleri aynı olan vektörlerdir.
• Zıt Vektörler: Büyüklükleri ve doğrultuları aynı, ancak yönleri zıt olan vektörlerdir. →A = -→B şeklinde gösterilir.

Vektörlerde Toplama İşlemi (Bileşke Vektör)

İki veya daha fazla vektörün etkisini tek başına gösteren vektöre bileşke vektör denir (→R = →A + →B + ...).

1. Paralelkenar Yöntemi

Aynı başlangıç noktasına sahip iki vektör için kullanılır. Vektörler, bir paralelkenarın komşu kenarları gibi konumlandırılır. Başlangıç noktasından çizilen köşegen, bileşke vektörü verir. Büyüklüğü kosinüs teoremi ile bulunur: R² = A² + B² + 2AB cosθ, burada θ vektörler arasındaki açıdır. Eğer θ = 90° ise Pisagor teoremi geçerlidir.

2. Uç Uca Ekleme Yöntemi

Birden fazla vektörün toplanmasında en kullanışlı yöntemdir. İlk vektörün bitiş noktasına ikinci vektörün başlangıç noktası eklenir, bu işlem tüm vektörler için tekrarlanır. İlk vektörün başlangıç noktasından son vektörün bitiş noktasına çizilen vektör, bileşke vektördür. Vektörlerin toplanma sırası önemli değildir (birleşme ve değişme özellikleri geçerlidir).

3. Bileşenlerine Ayırma Yöntemi (Kartezyen Koordinatlar)

Bir vektörü, birbirine dik eksenler üzerindeki bileşenlerine ayırmak, vektör işlemlerini kolaylaştırır. Bir →F vektörünün x-ekseni ile α açısı yapması durumunda, bileşenleri Fx = F cosα ve Fy = F sinα olur. Bir sistemdeki tüm vektörler bileşenlerine ayrıldıktan sonra, aynı eksendeki bileşenler cebirsel olarak toplanır:

• Rx = ΣFx
• Ry = ΣFy

Bileşke vektörün büyüklüğü ise R = √(Rx² + Ry²) formülü ile bulunur.

Vektörlerde Çıkarma İşlemi

Vektör çıkarma işlemi, bir vektöre diğer vektörün tersini eklemek anlamına gelir: →A - →B = →A + (-→B). Yani, çıkarılacak vektörün yönü zıt alınır ve ardından toplama kuralları uygulanır.

Bir Vektörün Skalerle Çarpımı

Bir →A vektörünün k gibi bir skaler ile çarpılması, vektörün büyüklüğünü değiştirir. Eğer k > 0 ise vektörün yönü değişmez, sadece büyüklüğü k katına çıkar. Eğer k < 0 ise vektörün hem büyüklüğü |k| katına çıkar hem de yönü tersine döner. k = 0 ise sonuç sıfır vektördür.

Birim Vektörler

Birim vektörler, bir eksenin veya yönün kendisini temsil eden, büyüklüğü bir olan vektörlerdir. Kartezyen koordinat sisteminde x, y, z eksenleri boyunca genellikle î, ĵ, k̂ ile gösterilirler. Herhangi bir vektör, bileşenleri ve birim vektörler cinsinden ifade edilebilir: →A = Axî + Ayĵ + Azk̂.