Çember Analitiği ve Geometrik Yerler ⭕

Çember Analitiği ve Geometrik Yerler

Çember analitiği, çemberlerin özelliklerini koordinat sistemi üzerinde cebirsel denklemlerle inceleyen bir alandır. Geometrik yer kavramı ise belirli bir kurala uyan noktaların kümesini ifade eder ve çember, elips, parabol, hiperbol gibi birçok geometrik şeklin temelini oluşturur.

1. Çember Denklemleri

Bir çember, düzlemde sabit bir noktaya (merkez) eşit uzaklıktaki noktaların kümesidir. Bu sabit uzaklığa yarıçap denir.

• Merkezil Çember Denklemi: Merkezi ve yarıçapı olan bir çemberin denklemi:
  
• Genel Çember Denklemi: Merkezil denklem açıldığında elde edilen şeklindeki denklemdir. Bu denklemin bir çember belirtmesi için 0> olması ve ile terimlerinin katsayılarının eşit olması (genellikle 1) gerekir. Bu durumda merkezin koordinatları ve yarıçapı olur.

2. Çember ve Doğru Durumları

Bir doğru ile bir çemberin birbirine göre üç farklı durumu olabilir. Bu durumlar, çemberin merkezinin doğruya olan uzaklığı () ile çemberin yarıçapının () karşılaştırılmasıyla belirlenir.

• Kesişen (İki Noktada Kesen): . Doğru çemberi iki noktada keser.
• Teğet (Tek Noktada Değen): . Doğru çembere tek bir noktada teğettir. Teğet, değme noktasında yarıçapa diktir.
• Ayrık (Kesen Olmayan): r>. Doğru çemberi kesmez.

Bu durumlar, doğru denklemi çember denkleminde yerine konularak elde edilen ikinci dereceden denklemin diskriminantı () ile de incelenebilir: 0> (iki kesişim), (teğet), (ayrık).

3. Teğet Denklemleri

Bir çembere teğet olan doğrunun denklemini bulmak, YKS'de önemli bir konudur.

• Çember Üzerindeki Bir Noktadan Teğet: Merkezi olan çembere üzerindeki noktasından çizilen teğetin denklemi:
  .
• Eğimi Verilen Teğetler: Merkezi orijinde olan çembere eğimi olan teğetlerin denklemleri:
  . Genel merkezli çemberler için merkez kaydırılarak bu formül adapte edilebilir veya şartı kullanılabilir.

4. Kuvvet Ekseni ve Kuvvet Merkezi

Kuvvet ekseni ve kuvvet merkezi, iki veya daha fazla çember arasındaki ilişkileri anlamak için kullanılan kavramlardır.

• Bir Noktanın Çembere Göre Kuvveti: Bir noktasının çemberine göre kuvveti olarak tanımlanır. 0> ise nokta dışarıda, ise çember üzerinde, ise içeridedir. Geometrik olarak, dışarıdaki bir nokta için, noktadan çizilen teğetin uzunluğunun karesidir.
• Kuvvet Ekseni: İki çembere göre kuvvetleri eşit olan noktaların geometrik yerine kuvvet ekseni denir. İki çemberin denklemleri ve ise, kuvvet ekseninin denklemi şeklinde bulunur. Bu doğru, eğer çemberler kesişiyorsa, kesişim noktalarından geçer.
• Kuvvet Merkezi: Üç farklı çemberin ikişerli kuvvet eksenlerinin kesişim noktasına kuvvet merkezi denir. Bu nokta, üç çembere de göre aynı kuvvete sahiptir.

5. Geometrik Yer Kavramı ve Uygulamaları

Geometrik yer (locus), düzlemde belirli bir özelliği sağlayan tüm noktaların kümesidir. Çember, iki sabit noktadan eşit uzaklıktaki noktaların geometrik yeri (doğru parçası orta dikmesi) veya iki sabit noktaya olan uzaklıkları oranı sabit olan noktaların geometrik yeri (Apollonius Çemberi) olarak da düşünülebilir.

• Apollonius Çemberi: Düzlemde verilen iki sabit ve noktasına uzaklıkları oranı sabit bir olan noktaların geometrik yeri bir çemberdir. Eğer ise, bu yer AB doğru parçasının orta dikmesidir.

Örnek Sorular ve Çözümleri

Örnek Soru 1:

Denklemi olan çemberin merkezini ve yarıçapını bulunuz. Bu çembere noktasından çizilen teğetin uzunluğunu hesaplayınız.

Çözüm 1:

• Merkez ve Yarıçap: Genel çember denklemi ile verilen çemberin merkezi ve yarıçapı idi.
  Burada , , .
  Merkez .
  Yarıçap birim.
• Teğet Uzunluğu: noktasının çembere göre kuvvetini bulmalıyız. Kuvvet, noktadan çizilen teğetin uzunluğunun karesidir.
  Çember denklemi veya .
  Kuvvet .
  Teğetin uzunluğunun karesi 4 olduğundan, teğetin uzunluğu birimdir.

Örnek Soru 2:

ve çemberlerinin kuvvet ekseninin denklemini bulunuz.

Çözüm 2:

İki çemberin kuvvet ekseninin denklemi formülüyle bulunur.

• Denklemi sadeleştirmek için her terimi -2'ye bölebiliriz:
  .
  Bu, iki çemberin kuvvet ekseninin denklemidir.