Mantık: Önermeler Mantığı ve Doğruluk Değerleri 🤔

Mantık Nedir?

Mantık, doğru düşünmenin, geçerli akıl yürütmenin ve tutarlı çıkarımların ilkelerini inceleyen bir bilim dalıdır. Felsefenin bir alt disiplini olarak Aristoteles tarafından sistematikleştirilmiş, günümüzde ise matematik ve bilgisayar bilimlerinin de temelini oluşturan sembolik bir yapıya kavuşmuştur. Mantığın amacı, düşüncenin geçerliliğini ve doğruluğunu, içeriğinden bağımsız olarak biçimsel açıdan incelemektir.

Mantık ve Dil

Mantık, dili bir araç olarak kullanır ancak dilin belirsizliklerinden kaçınarak sembolik bir dil geliştirmiştir. Mantık, kavramlar, terimler, önermeler ve çıkarımlar arasındaki ilişkileri analiz eder.

• Kavram/Terim: Bir nesnenin zihindeki karşılığıdır. (Örn: İnsan, Ağaç)
• Önerme: Doğru veya yanlış değer alabilen, bir yargı bildiren cümlelerdir. (Örn: "Ankara Türkiye'nin başkentidir.")
• Çıkarım (Akıl Yürütme): Bir veya birden fazla öncülden (önerme) yola çıkarak yeni bir sonuca ulaşma işlemidir.

Önermeler Mantığı

Önermeler mantığı (veya sıfırıncı dereceden mantık), temel olarak önermeler ve onlar arasındaki ilişkileri inceleyen mantık dalıdır. Önermelerin iç yapısıyla (terimlerin analiziyle) değil, önermelerin bir bütün olarak doğruluk değerleriyle ilgilenir. Önermeler, büyük harflerle (P, Q, R vb.) temsil edilir.

Önerme Kavramı ve Özellikleri

Bir cümlenin önerme olabilmesi için şu özelliklere sahip olması gerekir:

1. Yargı Bildirme: Bir durumu, olguyu veya ilişkiyi ifade etmelidir.
2. Doğruluk Değeri Taşıma: Doğru (D veya 1) ya da yanlış (Y veya 0) olarak değerlendirilebilmelidir. Bir önerme aynı anda hem doğru hem de yanlış olamaz (Üçüncü Halin İmkansızlığı ilkesi).

Önerme olmayan cümle türleri: Emir, soru, ünlem, dilek, temenni cümleleri. (Örn: "Kapıyı kapat!"; "Hava güzel mi?")

Basit ve Bileşik Önermeler

• Basit Önerme: Tek bir yargı bildiren önermedir. (Örn: "Hava soğuktur.")
• Bileşik Önerme: İki veya daha fazla basit önermenin mantık bağlaçlarıyla birleştirilmesiyle oluşan önermedir. (Örn: "Hava soğuktur ve kar yağıyor.")

Mantık Bağlaçları (Operatörleri) ve Doğruluk Tabloları

Bileşik önermelerin doğruluk değeri, onu oluşturan basit önermelerin doğruluk değerlerine ve aralarındaki mantık bağlaçlarına göre belirlenir. Her bağlacın kendine özgü bir doğruluk tablosu vardır.

1. Değilleme (Olumsuzlama / Negation) ~ veya ¬

Bir önermenin doğruluk değerini tersine çevirir. Eğer P doğruysa, ~P yanlıştır; P yanlışsa, ~P doğrudur.

P | ~P
--|---
D | Y
Y | D

2. Tümel Evetleme (Ve / Conjunction) ∧

İki önermenin de doğru olması durumunda doğru olan bileşik önermedir. Diğer tüm durumlarda yanlıştır.

P | Q | P ∧ Q
--|---|------
D | D | D
D | Y | Y
Y | D | Y
Y | Y | Y

3. Tikel Evetleme (Veya / Disjunction) ∨

İki önermeden en az birinin doğru olması durumunda doğru olan bileşik önermedir. Her ikisi de yanlış olduğunda yanlıştır.

P | Q | P ∨ Q
--|---|------
D | D | D
D | Y | D
Y | D | D
Y | Y | Y

4. Koşul (İse / Implication) →

Yalnızca birinci önerme doğru, ikinci önerme yanlış olduğunda yanlış olan bileşik önermedir. Diğer tüm durumlarda doğrudur. (Örn: "Yağmur yağarsa yerler ıslanır.")

P | Q | P → Q
--|---|------
D | D | D
D | Y | Y
Y | D | D
Y | Y | D

5. Karşılıklı Koşul (Ancak ve Ancak / Biconditional) ↔

İki önermenin de aynı doğruluk değerine sahip olması durumunda doğru olan bileşik önermedir. Farklı doğruluk değerlerine sahip olduklarında yanlıştır.

P | Q | P ↔ Q
--|---|------
D | D | D
D | Y | Y
Y | D | Y
Y | Y | D

Mantıkta Temel Kavramlar

• Totoloji: Bir bileşik önermenin, bileşenlerinin tüm doğruluk değer atamaları için her zaman doğru olması durumu. (Örn: P ∨ ~P)
• Çelişki: Bir bileşik önermenin, bileşenlerinin tüm doğruluk değer atamaları için her zaman yanlış olması durumu. (Örn: P ∧ ~P)
• Tutarlılık: Bir önermeler kümesinin tüm önermelerinin aynı anda doğru olabileceği en az bir doğruluk değer ataması varsa, o küme tutarlıdır. Ne totoloji ne de çelişki olan önermeler tutarlıdır.
• Geçerlilik: Bir çıkarımın, öncülleri doğru olduğunda sonucunun da zorunlu olarak doğru olması durumudur. Mantıkta geçerlilik, argümanın yapısıyla ilgilidir, içeriğiyle değil.
• Doğruluk: Bir önermenin gerçeklikle uyumu.